1143. 最长公共子序列(常规)

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，”ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。
两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例 1：

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输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出：3  
解释：最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

示例 2：

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输入：text1 = "abc", text2 = "abc"
输出：3
解释：最长公共子序列是 "abc" ，它的长度为 3 。

示例 3：

1
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3
输入：text1 = "abc", text2 = "def"
输出：0
解释：两个字符串没有公共子序列，返回 0 。

提示：

1 <= text1.length, text2.length <= 1000
text1 和 text2 仅由小写英文字符组成。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence

思路1：

最长公共子序列问题是典型的二维动态规划问题。

假设字符串 t1和t2的长度分别为 m 和 n，创建 m+1行 n+1列的二维数组 dp，其中 dp[i] [j]表示 t1[0:i] 和 t2[0:j] 的最长公共子序列的长度。

上述t[0:i]表示t1的长度为i的前缀，t2[0:j]表示t2的长度为j的前缀

考虑动态规划边界case：

  • 当 i=0 时，t[0:i] 为空，空字符串和任何字符串的最长公共子序列的长度都是 0，因此对任意 0≤j≤n，有 dp[0] [j]=0；
  • 当j=0时，t2[0:j]为空，同理可得，对任意0≤i≤m，有 dp[i] [0]=0。

因此动态规划的边界情况是：当i=0 或 j=0 时，dp[i] [j]=0。

当 i>0 且 j>0 时，考虑dp[i] [j] 的计算：

  • 当 t[i-1]=t2[j-1]时，将这两个相同的字符称为公共字符，考虑 t1[0:i-1]和 t2[0:j-1]的最长公共子序列，再增加一个字符（即公共字符）即可得到 t1[0:i]和 t2[0:j]的最长公共子序列，因此dp[i] [j]=dp[i−1] [j−1]+1。
  • 当 t1[i-1]/ t2[j-1] 时，考虑以下两项：
    • t1[0:i−1] 和 t2[0:j]的最长公共子序列；
    • t1[0:i]和 t2[0:j-1]的最长公共子序列。

要得到 t1[0:i]和 t2[0:j]的最长公共子序列，应取两项中的长度较大的一项，因此 dp[i] [j]=max(dp[i−1] [j],dp[i] [j−1])。

由此可以得到如下状态转移方程：

image-20210403215946827

​ 最终计算得到dp[m] [n] 即为 t1和t2 的最长公共子序列的长度。

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/longest-common-subsequence/solution/zui-chang-gong-gong-zi-xu-lie-by-leetcod-y7u0/

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是字符串 t1和 t2 的长度。二维数组 dp 有 m+1 行和 n+1 列，需要对dp 中的每个元素进行计算。
  • 空间复杂度：O(mn)，其中 m 和 n 分别是字符串 t1和 t2的长度。创建了m+1 行n+1 列的二维数组 dp。

代码1：

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class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        //dp
        int len1 = text1.length();
        int len2 = text2.length();
        //dp[i][j] 表示的ti与tj的公共子序列长度
        int[][] dp = new int[len1+1][len2+1];
        //初始化为0
        for(int i=0;i<=len1;i++){
            dp[i][0] = 0;
        }
        for(int j=0;j<=len2;j++){
            dp[0][j] = 0;
        }
        for(int i=1;i<=len1;i++){
            for (int j=1;j<=len2;j++){
                if(text1.charAt(i-1)==text2.charAt(j-1)){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[len1][len2];
    }
}