96. 不同的二叉搜索树(困难)

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

1
2
3
4
5
1         3     3      2      1
 \       /     /      / \      \
  3     2     1      1   3      2
 /     /       \                 \
2     1         2                 3

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees

思路1：

假设n个节点存在二叉排序树的个数是G(n)，令f(i)为以i为根的二叉搜索树的个数，则
G(n) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + … + f(n)

当i为根节点时，其左子树节点个数为i-1个，右子树节点为n-i，则
f(i) = G(i-1)*G(n-i)

综合两个公式可以得到 卡特兰数 公式
G(n) = G(0)G(n-1)+G(1)(n-2)+…+G(n-1)*G(0)

作者：guanpengchn
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/solution/hua-jie-suan-fa-96-bu-tong-de-er-cha-sou-suo-shu-b/

思路2：

动态规划

这尼玛，谁能想出来，简直了

代码：

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class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0]=1;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

代码

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//代码超时
class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        return count(1,n);
    }
    //递归，非dp
    int count(int low,int high){
        if(low>high){
            return 1;
        }
        int res =0;
        for(int i=low;i<=high;i++){
            int left = count(low,i-1);
            int right = count(i+1,high);
            res += left*right;
        }
        return res;
    }
}
//添加备忘
class Solution {
    int[][] memo;
    public int numTrees(int n) {
        memo = new int[n+1][n+1];
        return count(1,n);
    }
    //递归，非dp
    int count(int low,int high){
        if(low>high){
            return 1;
        }
        if(memo[low][high]!=0){
            return memo[low][high];
        }
        int res =0;
        for(int i=low;i<=high;i++){
            int left = count(low,i-1);
            int right = count(i+1,high);
            res += left*right;
        }
        memo[low][high] = res;
        return res;
    }
}